仓库建设

Problem

Source: BZOJ 1096, ZJOI 2007

Description

$L$ 公司有 $N$ 个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂 $1$ 在山顶，工厂 $N$ 在山脚：

由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），$L$ 公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，$L$ 公司的总裁 $L$ 先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是 $L$ 先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第 $i$ 个工厂目前已有成品 $P_i$ 件，在第 $i$ 个工厂位置建立仓库的费用是 $C_i$。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于 $L$ 公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂 $N​$，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送 1​ 个单位距离的费用是 ​1​。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。

你将得到以下数据：

• 工厂 $i$ 距离工厂 $1$ 的距离 $X_i$（其中 $X_1=0$）

• 工厂 $i$ 目前已有成品数量 $P_i$

• 在工厂 $i$ 建立仓库的费用 $C_i$

请你帮助 $L$ 公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用 + 运输费用）最小。

数据规模：

• 对于 $20\%$ 的数据，$N \leq 500$

• 对于 $40\%$ 的数据，$N \leq 10000$

• 对于 $100\%$ 的数据，$N \leq 1000000$

所有的 $X_i, P_i, C_i$ 均在 32 位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过 64​ 位带符号整数。

Input

第一行包含一个整数 $N$，表示工厂的个数。接下来 $N$ 行每行包含两个整数 $X_i, P_i, C_i$，意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

Output Details

在工厂 $1$ 和工厂 $3$ 建立仓库，建立费用为 $10+10=20$，运输费用为 $(9-5) \times 3 = 12$，总费用为 32​。

如果仅在工厂 $3$ 建立仓库，建立费用为 $10$，运输费用为 $(9-0) \times 5+(9-5) \times 3=57$，总费用为 67​，不如前者优。

Solution

$f(i)$：在 $i$ 处建立仓库，把 $1$ 到 $i$ 的成品运送到满足题意的仓库中的最少费用

$\text{Sum}(i)$：从 $1$ 到 $i$ 的成品数量之和

$\text{Sumd}(i)$：将 $1$ 到 $i$ 的成品全部运送到 $i$ 的花费

状态转移方程：

设 $j<k$ 且决策 $k$ 比 $j​$ 优，即：

化简后：

然后用斜率优化。

Code

Github (C++)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int M = 1000005;
ll Dis[M], Cost[M], Sum[M], Sumd[M], f[M], q[M];
int n;

void Init() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld%lld%lld",&Dis[i], &Sum[i], &Cost[i]);
        Sum[i] += Sum[i-1];
        Sumd[i] = Sumd[i-1] + Sum[i-1] * (Dis[i] - Dis[i-1]);
    }
}

double Slope(int i,int j) {
    return double((f[i] - Sumd[i] + Sum[i] * Dis[i]) - (f[j] - Sumd[j] + Sum[j] * Dis[j])) / (Sum[i] - Sum[j]);
}

void Dp() {
    int L = 1, R = 1;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        while(L < R && Slope(q[L],q[L+1]) < Dis[i]) L++;
        int j = q[L];
        f[i] = f[j] + Sumd[i] - Sumd[j] - Sum[j] * (Dis[i] - Dis[j]) + Cost[i];
        while(L < R && Slope(q[R-1], q[R]) > Slope(q[R], i)) R--;
        q[++R] = i;
    }

    printf("%lld\n", f[n]);
}

int main() {
    Init();
    Dp();
    return 0;
}